Lieux et forme algébrique - Corrigé

Énoncé

On se place dans le plan complexe. Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , on note \(Z=z^2+2z+1\) .

1. Déterminer l'ensemble \(\mathscr{E}_1\) des points \(\text M(z)\) tels que \(Z\) soit réel pur.

2. Déterminer l'ensemble \(\mathscr{E}_2\) des points \(\text M(z)\) tels que \(Z\) soit imaginaire pur.

Solution

On pose \(z=x+iy\) avec \(x \in \mathbb{R}\) et \(y \in \mathbb{R}\) .
On a : \(Z = z^2 + 2z +1= (x + iy)^2 + 2(x + iy) +1= x^2 + 2ixy - y^2 + 2x + 2iy +1\)
​Donc \(Z=x^2 - y^2 + 2x +1+ i(2xy + 2y)\)

1. Donc,
\(\begin{align*}Z \in \mathbb{R}& \Longleftrightarrow 2xy + 2y = 0\\ & \Longleftrightarrow2y (x+1)=0\\ & \Longleftrightarrow 2y=0 ~\text{ ou } ~x+1=0\\ & \Longleftrightarrow y=0 ~\text{ ou }~ x=-1\end{align*}\)
l’ensemble \(\mathscr{E}_1\) est la réunion des droites d’équations \(y = 0\) et \(x = -1\) .
D’un point de vue algébrique, \(\mathscr{E}_1 = \left\lbrace z \in \mathbb{C} / \text I\text m(z) = 0 \right\rbrace \cup \left\lbrace z \in \mathbb{C} / \text R\text e(z) = -1 \right\rbrace\) .

2. On a aussi
\(\begin{align*}Z \in i\mathbb{R}& \Longleftrightarrow x^2 - y^2 + 2x+1=0\\ & \Longleftrightarrow ( x+1)^2 -y^2 = 0\\ & \Longleftrightarrow (x+1)^2 =y^2 \\ & \Longleftrightarrow y= x+1 \text{ ou }y =-x-1\end{align*}\)
l’ensemble \(\mathscr{E}_2\) est la réunion des droites d’équations  \(y=x+1\)  et  \(y=-x-1\) .